Inlämningsuppgift 2 i atomers och molekylers struktur
(28.1.2000)

1. Partikeln i lådan Lös Schrödingers ekvation för partikeln i lådan. Den en-dimensionella lådans dimension är L. Beräkna excitationsenergin för excitationen från systemets grundtillstånd ($\psi_1$) till dess första exciterade tillstånd ($\psi_2$). Beräkna förväntningsvärdet för rörelsemängdsoperatorn $p$ och för $p^2$ för grundtillståndet. Hur stor är överlappet mellan $\psi_1$ och $\psi_2$?

2. Hermite polynom: Konstruera Hermite polynomet H$_3$ ($\nu=3$) med hjälp av rekursionsrelationen för Hermite polynomen, samt normalisera den motsvarande vibrationsfunktionen.
   

3. Klotfunktioner: Visa att Y$_2^1$$(\theta,\phi)$ $=$ $(\frac{15}{8\pi})^{1/2}$$cos(\theta)$$sin(\theta)$$e^{i\phi}$ är en egenfunktion till $\nabla^2(\theta,\phi)$ samt att den är normaliserad.
   

4. Formella vågfunktioner: Normalisera vågfunktionen $\psi$= $\psi_1$ + $\psi_2$ när $\psi_1$ och $\psi_2$ är egenfunktioner till samma Hamilton-operator med energiegenvärdena $\epsilon_1$ respektive $\epsilon_2$. Beräkna även tillståndets energi som funktion av $\epsilon_1$ och $\epsilon_2$.
   

5. Kommutering: De tre komponenterna av banimpulsmomentoperatorn kan skrivas som $\hat{l}_x=\hat{y}\hat{p}_z-\hat{z}\hat{p}_y$, $\hat{l}_y=\hat{z}\hat{p}_x-\hat{x}\hat{p}_z$ och $\hat{l}_z=\hat{x}\hat{p}_y-\hat{y}\hat{p}_z$. (Klassiskt som en vektorkryssprodukt). Visa att $\hat{l_x}$, $\hat{l_y}$ och $\hat{l_z}$ inte kommuterar. Kan $l_x$=$<\hat{l}_x>$ och $l_y$=$<\hat{l}_y>$ bestämmas samtidigt ?
   

6. Förväntningsvärden: Hur stor är sannolikheten att en elektron i väteatomens grundtillstånd befinner sig utanför 2a$_0$ från atomkärnan. a$_0$ är bohrradien.